1. Cực trị địa phương và định lý
FermatV. CÁC ĐỊNH L� CƠ BẢN
1. Cực trị địa phương và định lý
Fermat
Định nghĩa:
Hàm số f(x) được gọi là đạt cực đại địa phương tại xo nếu có một lân cận quanh điểm xo sao cho với mọi x thuộc l�n cận này ta có :
f(x) £ f(xo)
Khái niệm cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương.
Định l� (Fermat):
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị địa phương tại xo và có đạo hàm tại xo thì f�(xo )=0
Chứng minh:
Giả sử f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 và có đạo hàm tại xo. Khi đ� f(x) x�c định trên 1 khoảng ( xo -d , xo + d )với một d > 0 và trên khoảng này ta có:
Với mọi ê D xï < d
Do đ�:
Suy ra f�(x0) = 0
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong khoảng (a,b) và f(a)=f(b) thì tồn tại c Î (a,b) sao cho f�(c)=0
Chứng minh:
Nếu f(x) là hàm hằng trên [a,b], thì f�(x) = 0." x Î (a,b). Vậy ta có thể giả sử f(x) không hằng trên [a,b]. Vì f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên f([a,b]) = [m,M] với m ¹ M. Ta có f(a) ¹ m hay f(a) ¹ M. Ta xét trường hợp m ¹ f(a). (trường hợp M ¹ f(a) thì tương tự). Do m ¹ f(a) = f(b) và m Î f([a,b]) nên $ c Î (a,b) sao cho f(c) = m. Ta sẽ chứng minh f�(c)=0
Với h đủ nhỏ để c+h Î (a,b) ta có:
Vì f(c+h) � f(c) ³ 0
Suy ra f�(c) = 0
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) thì tồn tại c Î (a,b) sao cho:
f(b) - f(a) = f�(c) . (b-a).
Chứng minh
Đặt k =
, và xét hàm g(x) = f(x) - f(a) - k.(x-a). Ta thấy g(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a,b) và g(a) =g(b)=0. Do đ�,theo định l� Rolle ta c� cÎ (a,b) sao cho cÎ (a, b) sao cho: g�(c) =0
Vì : g�(x)=f�(x)-k, nên:
g�(c) = 0 Û f�(c ) -k =0
Û f�(c) =k
f (b)-f(a)=f�(c).(b-a)
Minh họa hình học:
Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số f(x) thoả điều kiện của định l� Lagrange trên [a,b] như hình vẽ. Khi đ� trên cung AB phải có ít nhất một điểm C c� hoành độ cÎ (a,b) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại C là song song với đường thẳng AB.
Chú ý: Nếu đặt h = b-a thì đẳng thức trong định l� Lagrange c� thể được viết lại như sau:
f(a + b) - f(a)= h . f�(a+q h) với 0 < q < 1
Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a,b) và g�(x) ¹ 0 tại mọi x Î (a,b), thì tồn tại c Î (a,b) sao cho:
Chứng minh:
Đặt k =
. Do g�(x) ¹ 0 " x Î (a,b)
Nên theo định l� Rolle ta phải c� g(a) ¹ g(b) . Vậy giá trị k là xác định .
Xét hàm số h(x) = f(x) - k.g(x)
Ta thấy h(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a,b) cho bởi :
h�(x)=f�(x) - k.g�(x).
Hơn nữa h(a) = h(b) nên theo định l� Rolle ta c� c Î (a,b) sao cho h�(c) = 0.
Suy ra:
Hay
