Cho dãy hàm số với n = 1, 2, � cùng xác định trên một tập E các số thực. Khi đ� với mỗi x Î E ta có chuỗi số

Khi xét x biến thiên trong E, ta gọi chuỗi là một chuỗi hàm. Điểm x₀ Î E mà chuỗi hội tụ được gọi là điểm hội tụ; ta cũng nói chuỗi hàm hội tụ tại x₀. Tập tất cả các điểm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. Gọi D là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta có:

,

,

là các hàm số của x xác định trên D. Sn(x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm, S(x) là tổng của chuỗi hàm và Rn(x) là phần dư thứ n của chuỗi hàm. Tổng S(x) có thể biểu diễn dưới dạng

Với mọi x Î D ta có , nên , nghĩa là phần dư của chuỗi hàm hội tụ đến 0 khi n ® +¥ .

    Ví dụ:

    1) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Đã biết rằng chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi a > 1. Do đ� chuỗi hội tụ khi và chỉ khi ln(x) > 1, hay x > e. Suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (e, +¥ ).

    2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Với mỗi x, chuỗi số (*) có số hạng tổng quát , với

l =

= = ex.

Theo tiêu chuẩn hội tụ d�Alembert ta có:

l < 1 Û x < 0 : chuỗi (*) hội tụ.

l > 1 Û x > 0 : chuỗi (*) phân kỳ.

l = 1 Û x = 0 : chuỗi (*) có dạng là chuỗi phân kỳ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (-¥ , 0).

    3) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Với mỗi x, chuỗi số (*) có có số hạng tổng quát , với

l =

= = +¥ .

Theo tiêu chuẩn căn Cauchy ta c� chuỗi ph�n kỳ (với mọi x). Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là tập hợp rỗng.

Xét x biến thiên trong một tập X nào đ� nằm trong miền hội tụ của chuỗi hàm . Gọi S(x) là tổng của chuỗi hàm và Sn(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Nếu với mọi e > 0, tồn tại n₀(e ) sao cho

" n ³ n₀(e )," x Î X, | Sn(x) � S(x) | < e

thì ta nói chuỗi hàm hội tụ đều tới hàm S(x) trên tập X, hoặc dãy hàm Sn(x) hội tụ đều tới hàm S(x) trên tập X. Điều này cũng có nghĩa là dãy các phần dư Rn(x) = S(x) - Sn(x) hội tụ đều tới 0 trên X.

Định l� sau đ�y cho ta một tiêu chuẩn về sự hội tụ cũng như hội tụ đều của chuỗi hàm.

    Định l�: (tiêu chuẩn Weierstrass)

Nếu ứng với mọi n lớn hơn một n₀ nào đ� và với mọi x Î X và chuỗi số dương hội tụ, thì chuỗi hàm hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên X.

    Ví dụ:

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm

Ta có:

ứng với mọi x Î R và do chuỗi hội tụ , nên chuỗi hàm hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên toàn trục số theo tiêu chuẩn Weierstrass.

2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm

Do nên tồn tại n₀ sao cho với mọi n ³ n₀ thì

.

Suy ra với mọi n ³ n₀ và với mọi số thực x ta có:

 £

mà chuỗi số điều hòa (mở rộng) hội tụ. Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi hàm hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên toàn trục số.

    Trong mục nầy sẽ phát biểu một số định l� về t�nh chất của c�c chuỗi hàm hội tụ đều.

    Định l�: (Tính liên tục của hàm tổng)

Nếu mọi hàm liên tục trên X và chuỗi hàm hội tụ đều đến hàm S(x) trên X, thì S(x) cũng liên tục trên X.

    Định l�: (tích phân từng số hạng)

Nếu mọi hàm liên tục trên [a, b] và chuỗi hàm hội tụ đều đến hàm S(x) trên [a, b], thì

 º .

    Định l�: (đạo hàm từng số hạng)

Giả sử ta có các điều kiện sau đ�y:

Các hàm có đạo hàm liên tục trong khoảng (a, b);

Chuỗi hàm hội tụ đến S(x) trong (a, b);

Chuỗi các đạo hàm hội tụ đều trong (a, b).

Khi đ� S(x) c� đạo hàm trong khoảng (a, b) và

S�(x) º =