T�ch ph�n h�m hữu tỉ

III. T�CH PH�N H�M HỮU TỈ

Cho tích phân trong đ� là một phân thức hữu tỉ tối giản theo x.

Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì bằng cách chia đa thức P(x) cho Q(x) ta viết được:

P(x) = Q(x) . S(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x)

Do đ�:

Vì S(x) là một đa thức theo x nên có thể tính được một cách dễ dàng. Như vậy ta chỉ cần tìm cách tính với bậc của R(x) < bậc của Q(x).

Tích phân có thể được tính bằng cách phân tích phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản hơn dựa vào 2 mệnh đề sau đ�y.

Mệnh đề 1: Mọi đa thức Q(x) với hệ số thực đều c� thể ph�n t�ch thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc 2 không có nghiệm thực :

Trong đ� c�c tam thức x²+ px + q ,�., x²+ p�x + q� không có nghiệm thực

Mệnh đề 2: Giả sử phân thức hữu tỉcó bậc của P(x)<bậc của Q(x) và Q(x) có dạng

Trong đ� c�c tam thức (x²+ px + q),�.,(x²+ p�x + q�) không có nghiệm thực. Khi ấy phân thức hữu tỉ có thể phân tích thành tổng của các phân thức đơn giản hơn như sau:

Trong đ� c�c hệ số A₁, �, Am, B₁,�., Bk, M₁, N₁,�., Ml, Nl,��, R₁, S₁,�..,Rl_�,Sl_�là các hằng số, và ta có thể tính được các hằng số này bằng phương pháp hệ số bất định, phương pháp trị riêng hay phương pháp phân tích từng bước. (Các phương pháp này sẽ được minh họa qua các ví dụ bên dưới).

Như vậy việc tính tích phân được đưa về việc tính 2 loại tích phân sau :

Và:

với p²- 4q < 0 ( Tức là x²+ px + q không có nghiệm thực).

Để t�nh I₁ ta chỉ cần đặt u = x � a

Để t�nh I₂ ta có thể phân tích I₂ dưới dạng:

Tích phân được tính dễ dàng bằng cách đặt: u = x²+ px + q.

Đối với. Ta biến đổi x² + px + q = (x-b)²+ c² và đặt u = x � b để đưa về dạng: mà ta đã biết cách tính trong ví dụ 6 ), Mục II.3.

Ví dụ :

1) Tính

x⁵- x² = x²(x³� 1) = x²(x � 1) (x²+ x + 1)

Do đ�:

Nhân 2 vế cho x⁵� x² ta được:

Thay x = 0, rồi x = 1 vào ta được :1 = -B và 1 = 3c

Þ B=-1; C =

Đồng nhất c�c hệ số của x⁴, x³, x² ở 2 vế của đẳng thức trên (đ�ng với mọi x) ta được:

Thay B= -1 và C= vào, rồi giải hệ này sẽ được:

Vậy:

Ta có:

Suy ra: