Diện t�ch h�nh thang cũng giới hạn bởi c�c đường

y= 0 ,y = f (x) � 0 ,x = a , x = b

được t�nh bởi c�ng thức:

    H�nh thang cong giới hạn bởi c�c đường :

y = f (x), y = g (x), x = a, x = b với f (x) � g (x) tr�n [a ,b ]

c� diện t�ch được t�nh bởi c�ng thức :

    V� dụ: T�nh diện t�ch h�nh phẳng giới hạn bởi c�c đường sau:

    1) y = -x² v� y = - x - 2

Ho�nh độ giao điểm của 2 đường y = - x² v� y = - x - 2 l� nghiệm cuả phương tr�nh.

- x² = - x - 2 � x = - 1 , x = 2 .

Tr�n [-1,2] ta c� - x - 2 � - x² n�n diện t�ch cần t�nh l� :

    2) v�

Hai đường cong cắt nhau tại A(-2a, a) v� B(2a, a).

Hơn nữa ta c� tr�n [-2a,2a].

Suy ra:

    Thể t�ch khối tr�n xoay do h�nh phẳng giới hạn bởi c�c đuờng :

y = f(x),

trục Ox

x = a, x = b

quay xung quanh trục Ox đuợc cho bởi c�ng thức :

    Tương tự, thể t�ch khối tr�n xoay do h�nh phẳng giới hạn bởi c�c đuờng :

x = g(y), trục Oy

y = c, y = d

quay xung quanh trục Oy được cho bởi c�ng thức :

    V� dụ: T�nh thể t�ch khối tr�n xoay

    1) Cho miền phẳng giới hạn bởi c�c đuờng :

, trục Ox , x= 0 ,

quay xung quanh trục Ox.

Ta c� :

đ.v.t.t

    2) Do miền phẳng giới hạn bởi c�c đường y² = x - 4 v� x = 0 quay quanh Oy.

Ta c� tọa độ giao điểm của đường cong y² = x � 4 với trục Oy l� nghiệm của hệ:

Suy ra :

Độ d�i cung AB của đường cong y=f(x) với A(a,f(a)), B(b,f(b)) v� a<b được t�nh theo c�ng thức :

    V� dụ:

T�nh độ d�i cung của đường cong giữa hai giao điểm của đường cong với trục ho�nh.

Đường cong cắt trục ho�nh tại 2 điểm v� . Suy ra độ d�i cung AB của đường cong l�:

      Lưu �:

(1) Nếu đường cong cho bởi phương tr�nh :

x = g (y) với c � y � d

    th� độ d�i của đường cong l�:

(2) Trường hợp đường cong c� phương tr�nh tham số:

    th� độ d�i của đường cong được t�nh bởi:

(3) Trường hợp đường cong trong tọa độ cực c� phương tr�nh

r = r (j ) ,a � j � b

    th� ta c� :

(a � j � b )

    Do đ� độ d�i đường cong l�:

Cho đường cong y=f(x) , khi đường cong n�y quay quang trục Ox trong kh�ng gian sẽ tạo ra một mặt tr�n xoay. Diện t�ch của mặt tr�n xoay n�y được t�nh theo c�ng thức.

    V� dụ: T�nh diện t�ch của v�ng xuyến sinh bởi đường tr�n :

quay quanh trục Ox.

Diện t�ch S của v�ng xuyến bằng tổng hai diện t�ch của hai mặt tr�n xoay sinh bởi nửa đường tr�n tr�n c� phương tr�nh

v� nửa đường tr�n dưới c� phương tr�nh

Khi ch�ng quay quanh trục Ox. Với cả 2 phương tr�nh tr�n

ta c� :

do đ�:

 

 

 

 

 

    Lưu � :

Khi đường cong được cho bởi phương tr�nh tham số

 

th� diện t�ch mặt tr�n xoay sinh ra bởi đường cong quay quanh Ox được t�nh bởi :

Nếu đường cong quay quanh Oy th� diện t�ch mặt tr�n xoay l�: