Ta gọi chuỗi hàm có dạng

là chuỗi lũy thừa. Các hằng số được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa, hệ số được gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọi là số hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa.

Nếu thực hiện phép đổi biến thì chuỗi lũy thừa trên trở thành chuỗi có dạng. Do đ� trong c�c mục tiếp theo dưới đ�y ta chỉ chuỗi lũy thừa c� dạng

  (*).

    Ví dụ:

    1) Chuỗi lũy thừa

có hệ số tổng quát là .

    2) Chuỗi lũy thừa

có hệ số tổng quát là . Bằng cách đổi biến X = x+2, chuỗi lũy thừa được chuyển về dạng

.

Một trong những vấn đề được xem xét đối với chuỗi lũy thừa là tìm miền hội tụ. Cho chuỗi lũy thừa

  (*).

Trước hết có thể thấy rằng chuỗi (*) hội tụ tại x = 0. Định l� sau đ�y là một trong những kết quả quan trọng liên quan đến vấn đề tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.

    Định l�: (Abel)

Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi x Î .

Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ tại thì chuỗi cũng phân kỳ tại mọi x Ï .

    Chứng minh:

Giả sử chuỗi lũy thừa hội tụ tại , nghĩa là chuỗi số hội tụ. Khi đ�

Þ có số dương M sao cho £ M với mọi số tự nhiên n.

Cho một số thực x Î . Ta có:

 £

với 0 ¹ < 1.

Chuỗi hình học hội tụ do q < 1, nên chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Tóm lại ta có chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên . Phần (i) của định l� được chứng minh.

Bây giờ giả sử chuỗi lũy thừa phân kỳ tại , nghĩa là chuỗi số phân kỳ. Nếu có số thực x Ï mà chuỗi hội tụ thì theo phần chứng minh ở trên ta có chuỗi hội tụ (mâu thuẩn). Vậy chuỗi phân kỳ tại mọi x Ï . Phần (ii) của định l� được chứng minh.

    Từ định l� Abel ta c� một số nhận x�t về dạng của miền hội tụ của chuỗi lũy thừa như sau. Trước hết chuỗi hội tụ tại x = 0 với tổng bp sau đ�y:

Trường hợp 1: Chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0.

Trường hợp 2: Chuỗi hội tụ trên toàn trục số.

Trường hợp 3: Chuỗi có điểm hội tụ và có điểm ph�n kỳ . Tất nhiên là theo định l� Abel. Vậy miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa phải thỏa D Ì nên bị chặn. Do tính đầy đủ của tập số thực D c� cận trên đ�ng R. C� thể thấy rằng nếu > R thì chuỗi phân kỳ tại x, và nếu x Î (-R, R) thì chuỗi hội tụ tại x.

    Định nghĩa: (bán kính hội tụ)

Cho chuỗi lũy thừa . Nếu tồn tại số dương R sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ tại mọi x mà < R và chuỗi phân kỳ tại mọi x mà > R, thì R được gọi là bán kính ội tụ của chuỗi lũy thừa. Trường hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0 ta nói bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 0; nếu chuỗi hội tụ trên toàn trục số thì ta nói bán kính hội tụ là R = +¥ .

    Theo định nghĩa trên ta có các trường hợp về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa như sau:

Nếu bán kính hội tụ R là một số thực dương thì miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa là một trong 4 trường hợp sau:

1) D = (-R, R) khi chuỗi không hội tụ tại ± R.
2) D = [-R, R] khi chuỗi hội tụ tại ± R.
3) D = [-R, R) khi chuỗi hội tụ tại -R nhưng không hội tụ tại R.
4) D = (-R, R] khi chuỗi hội tụ tại R nhưng không hội tụ tại -R.

Nếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = { 0} .

Nếu R = +¥ thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = R.

    Vậy việc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là bước rất quan trọng cho việc tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta có thể tính bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa dựa theo định l� dưới đ�y.

    Định l�: (Tìm bán kính hội tụ)

Cho chuỗi lũy thừa . Giả sử hay = . Khi đ� b�n k�nh hội tụ R của chuỗi lũy thừa là

R = nếu l� số thực dương;

R = 0 nếu = +¥ ;

R = +¥ nếu = 0.

    Ví dụ:

    1) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là . Ta có

 = 1 Þ R = 1

Để x�c định miền hội tụ ta cần x�t sự hội tụ của chuỗi tại c�c điểm -1 và +1. Xét tại x = -1, ta thấy chuỗi số phân kỳ. Tại x = 1, ta có chuỗi số cũng phân kỳ(do số hạng tổng quát của chuỗi số không dần về 0).

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = (-1, 1).

    2) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là . Ta có

 = 1

Þ bán kính hội tụ R = 1.

Xét tại x = -1, ta được chuỗi là chuỗi Leibnitz nên hội tụ. Tại x = 1 ta có chuỗi điều hòa nên là chuỗi phân kỳ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = [-1, 1).

    3) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là , với x₀ = -2 Ta có

 = 1/2

Þ bán kính hội tụ R = 2.

Xét tại x = x₀ � R = -4, ta được chuỗi số = = phân kỳ. Tại x = x₀ + R = 0, ta được chuỗi = hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = (-4, 0].

    4) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Có thể tính được bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 0. Suy ra chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0, tức là miền hội tụ D = { 0} .

    5) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Có thể tính được bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = +¥ . Suy ra chuỗi hội tụ tại mọi x, tức là miền hội tụ D = R.

Trong mục này sẽ nêu lên một số tính chất của chuỗi lũy thừa liên quan đến sự hội tụ đều, t�nh liên tục, tính đạo hàm và tích phân.

Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của n�.

Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ của nó.

Ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa trên đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của n�. N�i c�ch kh�c ta c�

Ngoài ra, nếu gọi S(x) là hàm tổng của chuỗi lũy thừa và R là bán kính hội tụ thì với mọi x thuộc khoảng hội tụ (-R, R) ta có:

=

Ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của nó và chuỗi mới nhận được cũng có cùng bán kính hội tụ với chuỗi ban đầu.

    Ví dụ:

    1) Tính tổng

Có thể tính được dễ dàng là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 1, vậy khoảng hội tụ là (-1, 1). Trong khoảng hội tụ này, ta lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi thì được

 =

    2) Lấy tích phân của S�(x) trên đoạn [0, x] sẽ được

Suy ra:

Tính tổng

, | x | < 1.

Ta có:

Lấy đạo hàm từng số hạng trong khoảng (-1, 1) thì được

 =