Cho dãy { a_n} các số dương, chuỗi số có số hạng tổng quát u_n = (-1)^nan hay u_n = (-1)ⁿ⁺¹a_n được gọi là chuỗi đan dấu. Liên quan đến chuỗi đan dấu ta c� tiêu chuẩn hội tụ leinitz như sau:

    Định l�: (tiêu chuẩn Leibnits)

Nếu chuỗi đan dấu thỏa mãn 2 điều kiện:

Dãy { a_n} là dãy dương giảm, và

 = 0;

thì chuỗi hội tụ. Hơn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 < S £ u₁.

    Chú thích:

Chuỗi thỏa điều kiện của tiêu chuẩn Leibnitz trong định l� trên được gọi là chuỗi Leibnitz. Nếu dùng tổng

Sn =

để xấp xĩ tổng của chuỗi Leibnitz thì phần dư thứ n của chuỗi là Rn thỏa:

| Rn | £ | un₊₁ |

    Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi .

Chuỗi số là chuỗi đan dấu c� số hạng thứ n là = , với là dãy số dương giảm và hội tụ về 0. Vậy chuỗi số là chuỗi Leibnitz nên chuỗi hội tụ.

    Định nghĩa:

Chuỗi số (có dấu bất kỳ) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội tụ.

Chuỗi số được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi hội tụ nhưng chuỗi phân kỳ.

Ghi chú: Chuỗi không dẫn tới sự hội tụ của chuỗi .

    Ví dụ:

1) Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nhưng chuỗi điều hòa phân kỳ. Vậy chuỗi là bán hội tụ.

2) Xét chuỗi có số hạng tổng quát .

Ta có:

 ~ ~

và chuỗi điều hòa mở rộng hội tụ. Suy ra chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ và

.

    Dưới đ�y là một số tính chất đã được chứng minh liên quan đến c�c chuỗi hội tụ tuyệt đối.

    Định l�: (Riemann)

Giả sử chuỗi bán hội tụ. Khi đ� với mọi số S hữu hạn hoặc là S = ± ¥ , tồn tại một cách thay đổi vị tr� của c�c số hạng của chuỗi để được một chuỗi mới có tổng là S.

Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối thì khi thay đổi vị tr� c�c số hạng của chuỗi một c�ch tùy ý ta vẫn được một chuỗi mới hội tụ tuyệt đối và có cúng tổng với chuỗi ban đầu.

    Định l�: (Cauchy)

Nếu các chuỗi và hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là S và T thì chuỗi gồm mọi số hạng (i = 1, 2, �, n; j = 1, 2, �, n) theo một thứ tự bất kỳ luôn hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng ST.