a) Giả sử f(x) xác định trên [a,+¥ ] và khả tích trên[a,b] với mọi b Î [a,¥ ]. Nếu tồn tại giới hạn là hữu hạn hoặc vô cùng thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a,¥ ] ký hiệu là

Vậy:

Khi tích phân suy rộng là hữu hạn thì ta nói là tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, nếu tích phân suy rộng không tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ.

b) Hoàn toàn tương tự, đối với c�c hàm số f(x) xác định trên (-¥ ,a] và khả tích trên [c,a] với mọi cÎ (-¥ ,a] ta định nghĩa t�ch ph�n suy rộng của f(x) trên (-¥ ,a] bởi:

c) Đối với hàm số f(x) xác định trên (-¥ ,+¥ ) ta định nghĩa t�ch ph�n suy rộng bởi:

và tích phân này hội tụ khi các tích phân suy rộng: và là hội tụ.

    1)Tính

    2) Tính

Cho b Î [o+¥ ), ta tính bằng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

Suy ra:

Vậy

Do đ� t�ch ph�n suy rộng là phân kỳ

    3) Tính

Ta có:

Suy ra

mà 

(áp dụng quy tắc l' hospitale)

Vậy:

    4) Xét sự hội tụ của phân tích suy rộng:

Tích phân này được tính theo 3 trường hợp của a như sau:

a =1

khi b ® +¥

Vậy là phân kỳ

a >1

do

nên

Vậy tích phân hội tụ với a >1

a <1

Trong trường hợp này ta có

Suy ra tích phânlà phân kỳ

    Định nghĩa:

Giả sử f(x) khả tích trên [a.c], " c Î [a,b] và không bị chặn tại b (nghĩa là ). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cùng)

thì giói hạn này sẽ được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a,b], ký hiệu là:

Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ, nếu giới hạn không tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng này là phân kỳ.

Vậy:

Hoàn toàn tương tự, nếu hàm số f(x) khả tích trên [c,b] với mọi c Î (a,b] và f không bị chặn tại a thì ta định nghĩa t�ch ph�n suy rộng của f(x) trên [a.b] bởi:

Trường hợp f(x) không bị chặn tại một điểm c Î (a,b), ta định nghĩa t�ch ph�n suy rộng của f trên [a,b] bởi:

Khi đ� t�ch ph�n suy rộng được xem là hội tụ .Khi cả hai tích phân và đều hội tụ .

    Ví dụ: Khảo sát tính hội tụ của các tích phân suy rộng sau và tính giá trị tương ứng trong trường hợp tích phân hội tụ

    1)

Ta có:

Đặt: và:

Suy ra:

    2)

Ta có:

Xét tích phân suy rộng:

Ta có:

Þ J₁ Phân kỳ và do đ� I₂ cũng phân kỳ.

    3)

Ta có

Vậy I₃ hội tụ và

    4) b > a và a là tham số .

Với a = 1, ta có:

Þ

Vậy tích phân I₄ phân kỳ khi a =1

Với a ¹ 1, ta có:

Suy ra:

+ Nếu a < 1 thì tích phân I₄ hội tụ và

+ Nếu a > 1 thì tích phân I₄ phân kỳ . Vì I₄ = + ¥

    Trong phần này ta sẽ phát biểu một số tiêu chuẩn hội tụ của tích suy rộng

(i) Cho f(x) ³ 0 trên [ a,+ ¥ ). Khi đ� t�ch ph�nhội tụ khi và chỉ khi có M > 0 sao cho:

(ii) Cho f(x) ³ 0 trên [a,b] và . Khi đ� t�ch ph�n hội tụ khi và chỉ khi có M > 0 sao cho:

    Định l� 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b] với mọi b Î [a,+¥ ) và f(x) £ g(x) với x đủ lớn. Khi đ�:

(i) Nếu hội tụ thì hội tụ

(ii) Nếu phân kỳ thì phân kỳ

    Định l� 3:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b] với mọi b Î [a, +¥ ) và:

(i) Nếu l = 0 ta có hội tụ Þ hội tụ, và:

Phân kỳ Þ phân kỳ

(ii) Nếu l = + ¥ ta có:

hội tụ Þ hội tụ ,và

phân kỳ Þ phân kỳ

(iii) Nếu l Î (0 ,+ ¥ ) ta có hai tích phân suy rộng và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ .

Cho f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,c] với mọi c Î [a,b) . Giả sử f (x) £ g(x) ở một lân cận trái của b . Khi đ� ta c�:

(i) Nếu hội tụ thì hội tụ

(ii) Nếu phân kỳ thì phân kỳ

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,c] với mọi cÎ [a,b), và:

(i) Nếu l= 0 ta có:

hội tụ Þ hôi tụ

phân kỳ Þ phân kỳ

(ii)  Nếu l=+ ¥ ta có:

hội tụ Þ hội tụ

phân kỳ Þ phân kỳ

(iii) Nếu l Î (0, +¥ ) Thì hai tích phân suy rộng và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

    Ví dụ:

    1) Xét sự hội tụ của

Với x > 1 ta có:

       

Vì 2/3 < 1 nên phân ky ø

Suy ra: cũng là phân kỳ

    2) Xét sự hội tụ của

Khi x ® + ¥ ta có:

mà hội tụ

Vậy cũng hội tụ

    3) Xét sự hội tụ của

Khi x ® 0, ta có:

Þ

mà hội tụ nên tích phân suy rộng I cũng hội tụ