1.Định nghĩa:

Cho dãy số thực { un} với n = 1, 2, 3, � . Biểu thức tổng vô hạn

được gọi là một chuỗi số, và un được gọi là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi số. Tổng số

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Nếu dãy các tổng riêng { Sn} có giới hạn là một số thực S khi n ® ¥ thì chuỗi số được gọi là hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi; trong trường hợp này ta viết

Ngược lại, nếu dãy { Sn} không hội tụ thì chuỗi số được gọi là phân kỳ.

    Ví dụ: Xét chuỗi hình học có dạng

trong đ� a là số khác 0.

Ta có:

= khi q ¹ 1.

Nếu |q| < 1 thì . Suy ra .

Ta có chuỗi hội tụ và có tổng là .

Nếu |q| > 1 thì . Suy ra .

Ta có chuỗi phân kỳ.

Trong trường hợp |q| = 1, ta dễ thấy rằng chuỗi phân kỳ.

Kết luận: chuỗi hình học hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi đ�

2. Các tính chất của chuỗi số:

Trong mục này sẽ phát biểu một số tính chất của chuỗi số. Các tính chất này có thể kiểm chứng dễ dàng từ định nghĩa của chuỗi số.

    Định l�:

Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không đổi khi ta bỏ đi một số hữu hạn số hạng đầu của chuỗi số.

 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không đổi nếu ta bỏ đi hay thêm vào một số hữu hạn số hạng ở những vị trí bất kỳ.

    Định l�:

Nếu chuỗi số hội tụ và có tổng bằng S thì vớc ta có chuỗi cũng hội tụ và

= a S.

Nếu và là các chuỗi số hội tụ thì các chuỗi tổng và chuỗi hiệu sau đ�y

và

cũng là các chuỗi hội tụ. Hơn nữa:

và

    Định l�: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số

  (*)

hội tụ là với mọi e > 0 bất kỳ, tồn tại số N (phụ thuộc e ) sao cho với mọi n tùy ý lớn hơn N điều kiện sau đ�u được thỏa mãn:

| an + an₊₁ + . . . + an_+p | < e , với mọi p = 0, 1, 2, �

    Từ định l� trên ta suy ra định l� về điều kiện cần cho sự hội tụ của một chuỗi số sau đ�y.

    Định l�:

Nếu chuỗi hội tụ thì .

Vậy chuỗi số phân kỳ nếu { un} không tiến về 0 khi n® ¥ .

    Ví dụ:

Chuỗi phân kỳ vì khác 0.

Chuỗi phân kỳ vì không tồn tại.