Chuỗi số được gọi là chuỗi số dương nếu tất cả các số hạng của chuỗi số đều là số dương. Trường hợp tất cả các số hạng đều là số không âm thì chuỗi số được gọi là chuỗi số không âm. Lưu ý rằng khi xét tính hội tụ hay phân kỳ cũng như tính tổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số không âm cũng thường được gọi là chuỗi số dương.

    Nhận xét rằng dãy các tổng riêng { Sn} của chuỗi số dương là dãy tăng nên chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy { Sn} bị chặn trên.

    Định l�:

Giả sử hai chuỗi số dương và thỏa điều kiện un £ vn với n khá lớn (nghĩa là ứng với mọi n lớn hơn một số n₀ nào đ�). Khi đ�

Nếu hội tụ thì hội tụ.

Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

    Nhận xét:

Hai chuỗi số dương và hội tụ khi và chỉ khi chuỗi hội tụ.

    Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Với mọi n = 1, 2, 3, � ta có:

Vì chuỗi hình học có số hạng tổng quát hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh được phát biểu trong định l� trên chuỗi số hội tụ.

    Hệ quả:

Nếu tồn tại giới hạn với L là một số thực dương thì các chuỗi số dương và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nếu thì từ sự hội tụ của chuỗi sẽ kéo theo sự hội tụ của chuỗi , và từ sự phân kỳ của chuỗi sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi .

Nếu thì từ sự hội tụ của chuỗi sẽ kéo theo sự hội tụ của chuỗi , và từ sự phân kỳ của chuỗi sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi .

Trong trường hợp ta nói un tương đương với vn (khi n ® ¥ ) và viết là un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dương và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Để �p dụng c�c tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của một số chuỗi thường gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ở đ�y ta c�ng nhận kết quả sau đ�y về sự hội tụ của chuỗi (a là tham số):

Chuỗi hội tụ Û a > 1.

Kết quả này có thể được chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy sẽ được trình bày sau. Ứng với trường hợp a = 1 ta có chuỗi phân kỳ.

    Ví dụ:

    1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Ta có: ~ . Mà chuỗi phân kỳ và p là một hằng số khác 0 nên chuỗi cũng phân kỳ.

    2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Khi n ® ¥ , ta có ® 0

Þ ~~=

Vì chuỗi hình học có số hạng tổng quát hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có chuỗi cũng hội tụ.

    3) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Khi n ® ¥ , ta có ® 0.

Þ ~ .

Vì chuỗi phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ.

    Định l�: (Tiêu chuẩn d�Alembert) Xét chuỗi số dương

Đặt . Ta có:

Nếu có một số q < 1 và có một số tự nhiên n₀ sao cho

" n > n₀, Dn £ q

thì chuỗi số hội tụ.

Nếu có một số tự nhiên n₀ sao cho

" n > n₀, Dn ³ 1

thì chuỗi số phân kỳ.

    Từ định l� trên ta rút ra hệ quả sau đ�y, cũng được gọi là tiêu chuẩn hội tụ d�Alembert:

    Hệ quả: Cho chuỗi số dương . Giả sử

  = l .

(i) Nếu l < 1 thì chuỗi số hội tụ.

(ii) Nếu l > 1 thì chuỗi số phân kỳ.

Trong trường hợp = 1 (*) thì ta chưa kết luận được một cách chính xác chuỗi số dương hội tụ hay phân kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương phân kỳ thỏa mãn điều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương hội tụ thỏa mãn điều kiện (*).

Các khẳng định (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng đ�ng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng

  = l .

    Ví dụ:

    1) Xét chuỗi số với x là một số thực cho trước. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.

Số hạng thứ n của chuỗi số là . Nhận xét rằng với x = 0 thì các số hạng đều bằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trường hợp x ¹ 0, ta có:

Suy ra

 = 0.

Vậy chuỗi hội tụ với mọi x.

    2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số .

Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có:

 

=

và > 1.

Suy ra chuỗi phân kỳ.

    Định lý: (Tiêu chuẩn căn thức Cauchy) X�t chuỗi số dương .

Đặt Cn = .

Nếu có một số q < 1 và có một số tự nhiên n₀ sao cho

" n > n₀, Cn £ q

thì chuỗi số hội tụ.

Nếu có một số tự nhiên n₀ sao cho

" n > n₀, Cn ³ 1

thì chuỗi số phân kỳ.

    Từ định l� trên ta rút ra hệ quả sau đ�y, cũng được gọi là tiêu chuẩn căn thức Cauchy:

    Hệ quả: Cho chuỗi số dương . Giả sử

= l .

Nếu l < 1 thì chuỗi số hội tụ.

Nếu l > 1 thì chuỗi số phân kỳ.

Trong trường hợp = 1 (*) thì ta chưa kết luận được một cách chính xác chuỗi số dương hội tụ hay phân kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương phân kỳ thỏa mãn điều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương hội tụ thỏa mãn điều kiện (*).

Các khẳng định (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng đ�ng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng

= l .

    Ví dụ:

Xét chuỗi số với x là một số thực cho trước. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.

Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có:

= ® 0 khi n ® ¥

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi hội tụ với mọi x.

Xét sự hội tụ của chuỗi số

Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có:

= ® 2 khi n ® ¥

Suy ra chuỗi số phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.

    Định l�: (tiêu chuẩn tích phân Cauchy)

Nếu chuỗi số có dạng , nghĩa là với mọi n; trong đ� f là một hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1, +¥ ) thì ta có:

 hội tụ Û hội tụ

    Ví dụ:

    1) Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa mở rộng .

Trước hết ta thấy rằng nếu a £ 0 thì ( ³ 1) không hội tụ về 0 nên chuỗi phân kỳ. Xét trường hợp a > 0. Dễ thấy rằng các tiêu chuẩn d�Alembert và tiêu chuẩn căn thức Cauchy đều kh�ng cho ta kết luận được về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. Hàm số f(x) = thỏa các điều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Do tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi a > 1 nên chuỗi hội tụ khi và chỉ khi a >1. Tóm lại ta có:

 hội tụ Û a > 1.

    2) Xét sự hội tụ của chuỗi

Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có:

, với .

Hàm số f(x) thỏa các điệu kiện của tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Xét tích phân

Đổi biến: u = ln(x), thì được

  = = + ¥

Vậy chuỗi phân kỳ.