Cho hàm f(x) trên đoạn [a.b]. Chia đoạn [a.b] một c�ch tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi c�c điểm a = xo < x₁ < �� < xn = b. Đặt D xi = xi � xi_-1 và trên

[ xi_-1, xi ] lấy một điểm ti tùy ý, i = 1, 2 , � , n. Lập tổng

Và gọi Sn là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a,b] . Nếu Sn c� giới hạn hữu hạn I khi n ® ¥ sao cho max{ D xi } ® 0 và I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các ti, thì I được gọi là tích phân xác định của f(x) trên đoạn [a,b] và được ký hiệu là:

Vậy:

 

Khi đ� ta n�i f(x) là khả tích trên [a,b]; [a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên , f là hàm dưới dấu tích phân và x là biến tích phân.

(i) chỉ phụ thuộc f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là:

 

(ii) Trường hợp a > b , ta định nghĩa :

(iii) Trường hợp a = b, định nghĩa

(iv) Từ định nghĩa, ta thấy ngay hàm f(x) bị chặn trên [a,b] nếu f(x) khả tích trên [a,b].

Nếu f(x) ³ 0 trên [a,b] và f(x) khả tích trên [a,b] thì chính là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi các đường :

x = a; x = b; y = f(x) và trục hoành y=0.

(1)

(2)

(3) Nếu

Hệ quả:

(4) Với cÎ [a,b] ta có:

(5) Giả sử f(x) khả tích trên [-a, a]. Khi đ�:

nếu f(x) là hàm số chẵn

  nếu f (x) là hàm số lẻ

Do hàm khả tích thì bị chặn nên ta chỉ xét các hàm bị chặn trên [a, b]. Mỗi phép chia nhỏ đoạn [a,b] bởi c�c điểm a = xo < x₁ < �� < xn được gọi là một phân hoạch của[a,b] , ký hiệu P = { xo, x₁��. xn }. Đặt:

       

(cận trên đ�ng cuả f(x) trên [ xi_-1, xi ] )

       

(cận dưới đ�ng cuả f(x) trên [ xi_-1, xi ] )

       

Ta gọi U(f,P) và L(f,P) là các tổng (Darboux) trên và dưới của f ứng với phân hoạch P. Người ta đã chứng minh được một điều kiện khả t�ch được phát biểu trong định l� sau đ�y :

    Định l� 1: Điều kiện cần và đủ để f khả t�ch là:

Từ định l� này ta có thể chứng minh một số lớp hàm khả tích được phát biểu trong các định l� dưới đ�y.

    Định l� 2: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].

    Định nghĩa:

Nếu hàm số f(x) xác định tại x_o và không liên tục tại x_o nhưng có giới hạn 2 phía tại x_o thì ta nói x_o là điểm gi�n đoạn loại 1 tại x_o.

    Định l� 3:

Nếu f chỉ có hữu hạn điểm gi�n đoạn loại 1 trên [a,b] thì f khả tích trên [a,b].

    Định l� 4: Hàm bị chặn và đơn điệu trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].