Cho f(x) xác định trên một khoảng mở quanh xo và có thể không xác định tại xo . Ta n�i f(x) c� giới hạn là L khi x tiến về xo , và viết :

Nếu với mọi e > 0, tồn tại một số dương e tương ứng sao cho với mọi x ta có :

Lưu ý : Trong một số giáo trình giải tích, giới hạn của hàm số được định nghĩa th�ng qua kh�i niệm giới hạn của dãy số như sau: f(x) được nói là đạt đến giới hạn L khi x tiến về xo nếu với mọi dãy số thực { x_n}_n mà mọi x_n ¹ x_o và x_n -> a, ta có f(x_n) -> L

Ví dụ : Cho

Chứng minh rằng :

Cho trước e > 0 tùy ý. Với x ¹ xo =2, ta có:

Từ đ�, lấy : thì sẽ có :

Qua ví dụ trên. Ta thấy việc tìm giới hạn theo định nghĩa kh� phức tạp. Th�ng thường ta sẽ sử dụng các quy tắc tìm giới hạn và dựa trên các giới hạn đã biết để t�nh giới hạn.

Giả sử và (L và M là các số thực ). Khi đ� ta c� :

(1)

(2)

(3)

(4) (k là một số tuỳ ý)

(5)

       Định l� 2: (Giới hạn của các hàm số sơ cấp)

Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và a là một số thực thuộc miền xác định của f(x), thì :

   Ghi chú: Hàm số sơ cấp là hàm số có được do thực hiện các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép hợp nối hàm số trên cơ sở các hàm sơ cấp cơ bản: hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược.

       Định l� 3: (Định l� kẹp)

Giả sử : g(x) £ f(x) £ h(x) với mọi x thuộc một khoảng quanh a (có thể loại trừ điểm a), và giả sử:

Khi ấy:

Ví dụ :

1)

2)

3)

Ta có :

4)

Cho f(x) xác định trên (a,b) với a<b . Ta nói f có giới hạn bên phải tại a và L khi:

 

Khi đ� ta viết :

Tương tự , với f(x) xác định trên (c,a) ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại a là M khi:

Khi đ� ta viết :

 

Ngoài ra còn có các giới hạn một phía tại a và giới hạn là vô tận:

Các ví dụ :

1)

2)

3)

4)

       Định l�: Giả sử ta xét giới hạn của f (x) , g (x) , và h (x) trong cùng một quá trình biến đổi của X : x -> a, hoặc x -> a⁺, hoặc x -> a^- hoặc x -> + ¥ hoặc x -> -¥ ,và a và b là các số thực . Khi đ� ta c� :

(i)      

(ii)     

(iii)    

(iv)    

       Với a > 1, ta có :

       Với 0 < a < 1, ta có :

       Với 0 < a ¹ 1 và a Î R, ta có :

đặc biệt: