Nếu h�m số f(x) c� đạo h�m đến cấp n+1 trong một khoảng chứa xo v� x th� ta c� c�ng thức Taylor sau đ�y :

trong đ� c l� một số nằm giữa xo v� x

Trong c�ng thức tr�n ta gọi:

l� phần dư Lagrange trong c�ng thức Taylor

1) Số c trong c�ng thức Taylor c�n được viết dưới dạng:

c = xo + q (x- xo) với 0 < q < 1

2) Phần dư Rn(x) cũng c�n được viết dưới dạng:

tức l� VCB cấp cao hơn (x - xo)ⁿ. Dạng n�y được gọi l� phần dư dạng Peano

C�ng thức Taylor của h�m số f(x) thường được gọi l� khai triển Taylor của h�m số f. Trong trường hợp x_o = 0, c�ng thức Taylor c� dạng :

Với

V� c�ng thức n�y được gọi l� c�ng thức Maclaurin của h�m số f

    Khai triển h�m số : y = e^x

Với mọi k ta c� y^(k)(x) = e^x v� y^(k)(0)=1

Vậy :

Trong đ� 0( xⁿ ) l� VCB bậc cao hơn xⁿ khi x -> 0.

    Khai triển h�m y=sin x

Ta c� , n�n:

Vậy:

Với 0 < q < 1

    Tương tự , ta c� c�c khai triển Maclausin sau đ�y:

    Khai triển cos x.

với 0 < q < 1

    Khai triển

    Khai triển ln(1+x), x > -1

 

 

với 0 < q < 1

 

    Khai triển v�

với 0<q <1

    Khai triển arctg x