(i) Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng chứa xo. Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu

(ii) Cho f (x) xác định trên với [ xo, xo + d ] với s > 0. Ta nói f (x) liên tục bên phải tại xo nếu:

(iii) Cho f(x) xác định tên ( xo - d , xo ] với s > 0

Ta nói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu:

    Mệnh đề: f liên tục tại x_o <=> f liên tục bên trái và liên tục bên phải tại x_o

    Định l�: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại xo. Khi đ� ta c� :

(i) f(x) + g(x) và f(x) . g (x) cũng liên tục tại xo

(ii) liên tục tại xo với điều kiện

(iii) ½ f (x) ½ liên tục tại xo_.

    Định l�: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x_o và hàm số g(u) liên tục tại u_o = f(x_o) thì hàm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại x_o.

    Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu:

(i) f(x) liên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xoÎ (a,b)

(ii) f(x) liên tục bên phải tại a.

(iii) f(x) liên tục bên trái tại b.

    Liên quan đến hàm số liên tục trên một đoạn , người ta đã chứng minh được định l� sau đ�y:

    Định l�: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Khi đ� ta c�:

(i) f có gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất trên [a,b]

(ii) Đặt m = min {f(x)/ x Î [a,b]}

M = max {f(x) / x Î [a,b]}

Ta có f ([a,b] ) =[m,M]

(iii) Cho một số thực yo tùy ý thuộc [m,M], ta có xoÎ [a,b] sao cho yo=f(xo)

    Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a,b] và:

        Thì phương trình f(x) =0 có nghiệm trong khoảng (a,b).