Định nghĩa:

X�t h�m số f(x) x�c định tr�n 1 khoảng quanh xo. Ta n�i f khả vi tại xo . Khi ta c� một hằng số D sao cho ứng với mọi số gia D x đủ nhỏ của biến x, số gia của h�m l� Df ( x₀ + Dx ) - f ( x₀ ) c� thể viết dưới dạng :

Df = A.Dx + 0(Dx)

Trong đ� 0(Dx) l� VCB cấp cao hơn D x khi D x � 0

Biểu thức A.D x được gọi l� vi ph�n của f(x) tại xo ứng với số gia D x v� được k� hiệu l� df

Vậy: df = A.D x

    Định l�: H�m số f(x) khả vi tại xo khi v� chỉ khi f(x) c� đạo h�m tại x_o. Khi đ� ta c�:

df = f�(x_o) . D x

Từ định l� tr�n với f(x) = x ta c� dx = D x

Do đ� biểu thức vi ph�n của một h�m số y=y(x) sẽ được viết dưới dạng :

dy = y�. dx

Từ định nghĩa của vi ph�n ở tr�n v� c�ng thức : dy = y�dx

Ta c�: nếu y�(x) � 0 th� dy v� D y l� 2 VCB tương đương khi D x � 0

Giả sử y = f(x) v� x = j (t). X�t h�m hợp y = f(j (t)), ta c�:

Do đ� dy = y�_x . x�_t .dt = y�_x .dx

Vậy dạng vi ph�n dy của h�m y = f(x) kh�ng thay đổi d� x l� biến độc lập hay l� h�m khả vi theo biến độc lập kh�c. T�nh chất n�y được gọi l� t�nh bất biến của biểu thức vi ph�n.

Từ c�c qui tắc t�nh đạo h�m, ta c� c�c qui tắc t�nh vi ph�n như sau :

d(u+v)=du + dv

d(u.v)=v.du + u.dv

Giả sử h�m số y=f(x) khả vi tr�n một khoảng n�o đ�. Như thế vi ph�n dy=y�.dx l� một h�m theo x tr�n khoảng đ� v� nếu h�m n�y khả vi th� vi ph�n của n� được gọi l� vi ph�n cấp 2 cuả y v� được k� hiệu l� d²y.Vậy:

Tổng qu�t, vi ph�n cấp n của h�m số y được k� hiệu l� dny v� được định nghĩa bởi:

 

Ta c� thể kiểm chứng dễ d�ng c�ng thức sau:

    V� dụ : Với y= sin x, ta c�:

dy= cosx dx

    Nhận x�t: C�ng thức vi ph�n cấp cao:

( n � 2 )

kh�ng c�n đ�ng nữa nếu x kh�ng phải l� biến độc lập