Các số thực là những số có thể biểu diễn dưới dạng thập phân như :

trong đ� dấu ba chấm (�) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài đến v� hạn .

Các số thực có thể được biểu diễn về mặt hình học bởi các điểm trên 1 đường thẳng, được gọi là đường thẳng thực như minh họa dưới đ�y:

Tập hợp tất cả các số thực (hay đừng thẳng thực ) sẽ được ký hiệu là R.

Trên tập hợp các số thực ta có hai phép toán cơ bản + và * với một số tính chất đại số quen thuộc đã biết . Từ đ� ta cũng c� ph�p to�n trừ (-) và phép chia (/) cho số khác 0.

Ngoài ra trên R ta cũng có một thứ tự thông thường và với thứ tự này ta có một số tính chất được viết dưới dạng các bất đẳng thức như sau:

Nếu a,b, và c là các số thực thì ta có

a < b Þ a+c <b+c

a < b Þ a-c <b-c

a < b và c > 0 Þ ac <bc

a < b và c< 0 Þ bc <ac

đặc biệt : a < b Þ -b <-a

a > 0 Þ > 0

Nếu (a và b cùng là số dương )

    hay (a và b cùng là số âm )

Thì ta có :

R có một số tập hợp con quen thuộc là tập hợp các số tự nhiên N ,tập hợp các số nguyên Z, và tập hợp các số hữu tỉ Q . Theo thứ tự "bao hàm trong " thì

N Ì Z Ì Q Ì R

Các số thực không thuộc Q được gọi là các số vô tỉ .

Ký hiệu các khoảng đoạn và nửa khoảng :

Với a và b là các số thực , ta ký hiệu :

(a ,b ) là { x Î R / a< x <b}

[ a,b ] là {x Î R / a <=x <= b}

[a,b) là {x Î R / a <= x < b }

(a ,b ] là { x Î R / a < x <=b}

(a,¥ ) là {x Î R / x > a}

[a, ¥ ) là { x Î R /x >= a}

( -¥ ,b) l� {x Î R /x < b }

( -¥ b] là {x Î R /x <= b}

( - ¥ , ¥ ) là R

Ghi chú : Người ta còn chứng minh được rằng R có tính chất đầy đủ . Theo t�nh chất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên đều c� cặn trên đ�ng (tức là chặn trên nhỏ nhất). Tương tự , mọi tập số thực khác rỗng bị có chặn dưới đ�ng.

Ký hiệu "gi� trị tuyệt đối�:

Giá trị tuyệt đối của một số thực x ,k� hiệu bởi |x|, được định nghĩa như sau :

Từ đ� ta c� một số t�nh chất dưới đ�y:

(1) Với mọi

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Lưu ý rằng về mặt hình học , ½ x½ biểu diễn khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên đường thẳng thực . Tổng quát hơn là :

½ x-y½ = khoảng cách giữa x và y

       Định nghĩa:

Một hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x Î D là một phần tử duy nhất f (x) Î R.

Một hàm số thường được cho dưới dạng công thức như các ví dụ sau:

Khi hàm số được cho bởi một công thức như hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x mà g(x) xác định được gọi là miền xác định của hàm số.

Ví dụ: Miền xác định của hàm số là tập hợp các số thực x sao cho :

    x² � 4 ³ 0

Û x £ -2 hay x ³ 2

Vậy miền xác định là : ( - ¥ , -2 ] È [ 2 , ¥ )

Đồ thị của hàm số f là đường biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phưng trình y=f(x). Nó bao gồm tất cả các điểm (x , f(x)) với x chạy trong miền x�c định của hàm số.

Ví dụ :

1) Đồ thị hàm số y = x²

2) Đồ thị hàm số y = x^3/2

 

Cho f và g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta định nghĩa c�c hàm f+g, f�g, f.g, f/g và c.f bởi các công thức sau:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

(f - g) (x) = f(x) - g(x)

(f . g) (x) = f(x) . g(x)

(c.f) (x) =c.f(x)

Hợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số được ký hiệu là gof và được định nghĩa bởi :

(go f) (x) = g(f(x) )

Miền xác định của go f là tập hợp các giá trị x sao cho f(x) Î miền xác định của g.

Ví dụ: Hàm số y = có miền xác định là tập hợp tất cả các số thực x sao cho

hay x Ï (1, 2). Vậy miền xác định là D = (-¥ , 1] È [2, +¥ ).