Cho f là một hàm khả tích trên [a ,b ]với x Î [ a , b ],

       

Xác định và là một hàm số theo biến x. Hàm số này đã được chứng minh là có những tính chất phát biểu trong mệnh đề sau đ�y:

(i) Nếu f khả tích trên [a,b] thì F(x)= là hàm liên tục trên [a,b].

(ii) Nếu f(t) liên tục tại t = x_o Î (a,b), thì F(x) có đạo hàm tại x_o và F�(x_o)=f(x_o).

    Nhận xét :

Nếu f liên tục trên [a,b] thì hàm số là nguyên hàm của f trên [a,b].

    Định l� : Giả sử f liên tục trên [ a,b]. Khi đ� :

(i) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b].

(ii) Nếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a,b] thì:

(Công thức này được gọi là công thức Newton-Leibnitz)

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh phần (ii).

Do F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên [a,b] nên ta có hằng số C sao cho F(x) = G(x) + C, " x Î [a,b]. Cho x = a ta được 0 = G(a) + C, suy ra:

G(a) = - C

Vậy F(b) = G(b) - G(a), tức là:

Hiệu số G(b) - G(a) trong công thức Newton-Leibnitz của định l� trên thường được viết dưới các ký hiệu sau:

, hay vắn tắt là

hay vắn tắt là

    Ví dụ:Tính tích phân xác định :

1)

               

               

2)

           

  Þ   

3)