Ta thường dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin để t�nh xấp xỉ gi� trị của hàm f(x) sau khi chọn n đủ lớn để phần dư Rn(x) có giá trị tuyệt đối kh�ng vượt quá sai số cho phép.

    Ví dụ: Tính số e chính xác đến 0,00001.

Trong công thức khai triển Maclaurin của hàm số e^x :

Với 0 < q < 1

ta lấy x=1 và n=8 thì phần dư R₈ thỏa:

Vậy ta có thể tính e chính xác đến 0,00001 bằng c�ng thức xấp xỉ sau

    Ta còn có thể dùng khai triển Maclaurin để t�nh giới hạn c� dạng v� định như trong ví dụ sau đ�y :

1) Tìm

Ta có:

Sử dụng khai triển Maclaurin của sinx đến cấp 4, ta c� thể viết sinx dưới dạng:

Với

Suy ra  

Khi x ® 0

Vậy:

2) Tìm

Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có :

trong đ�

Þ 

Khi x ® 0

Vậy

    Nhờ định l� Cauchy, người ta đã chứng minh được các định l� dưới đ�y mà ta gọi là quy tắc L�Hospitale. Quy tắc này rất thuận lợi để tìm giới hạn của các dạng vô định và .

Giả sử f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b) và g� ¹ 0 trong khoảng đ�. Khi ấy, nếu:

thì

Định l� vẫn đ�ng khi thay cho qu� trình x ® a⁺, ta xét quá trình x® b^- hoặc x ® c với cÎ (a,b). Trường hợp a= -¥ , b= + ¥ định l� vẫn đ�ng.

Giả sử f(x) và g(x) có đạo hàm trong (a,b) và g�(x) ¹ 0 trong khoảng đ�. Khi ấy nếu :

(i) f(x) và g (x) là các VLC khi x -> a⁺ ,và

(hữu hạn hoặc vô tận)

thì 

Định l� cũng đ�ng cho c�c qu� trình x ® b^-, x ® c Î (a,b) và cho các trường hợp a = - ¥ và b = + ¥

1) Khi xét trong quy tắc l�Hospitale, nếu thấy vẫn có dạng vô định hoặc thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc l�Hospitale

2) Quy rắc l�Hospitale chỉ là điều kiện đủ để c� giới hạn của không phải là điều kiện cần. Do đ�, nếu kh�ng tồn tại giới hạn của thì ta chưa có kết luận gì về giới hạn của

    Ví dụ:

1) Tìm

Đặt và g(x) = x - sin x

Xét qúa trình x ® 0 ta có:

có dạng vô định

cũng có dạng vô định

cũng có dạng vô định

Vậy sau 3 lần áp dụng quy tắc l�Hospitale ta suy ra:

 

2)

3) Tìm

Giới hạn này có dạng vô định ¥ - ¥ . Ta có thể biến đổi giới hạn về dạng v� định để �p dụng quy tắc l�Hospitale như sau:

4) Tìm

Giới hạn này có dạng vô định . Ta biến đổi như sau:

Ta có:

Suy ra