Điều kiện cần và đủ để f(x) hằng trên khoảng (a,b) là f�(x) = 0 với mọi x Î (a,b)

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng (a,b) . Khi đ� điều kiện cần và đủ để hàm số tăng trên (a,b) là f(x) ³ 0 với mọi xÎ (a,b). Tương tự , điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) giảm trên (a,b) là f'(x) £ 0.

Từ định l� này, để x�t sự biến thiên của hàm số f(x) ta tính đạo hàm f'(x)và xét dấu đạo hàm. Việc xét dấu đạo hàm cũng cho ta biết cực trị địa phương của hàm số theo định l� sau đ�y:

    Định l�: ( điều kiện đủ để c� cực trị địa phương)

Giả sử f(x) liên tục tại xo và có đạo hàm trong một khoảng quanh x_o (có thể trừ điểm x_o). Khi đ� ta c�:

(i) Nếu khi x vượt qua xo mà f�(x) đổi dấu từ � sang + thì f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x_o

(ii) Nếu khi x vượt qua xo mà f'(x) đổi dấu từ + sang � thì f(x) đạt cực đại địa phương tại x_o

(iii) Nếu khi x vượt qua xo mà f'(x) không đổi dấu thì không có cực trị địa phương tại x_o

Ngoài cách khảo sát cực trị điạ phương bằng việc xét dấu đạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn có thể xét dấu của đạo hàm cấp 2 f''(x) tại điểm x_o, nhờ vào định l� sau :

    Định l� : Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục f''(x_o) và f'(x_o)=0.

Khi đ�:

(i) Nếu f''(x_o) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x_o

(ii) Nếu f''(x_o) < 0 thì f(x) đạt cực đại địa phương tại x_o

Chú ý: Định l� trên có thể được mở rộng và được phát biểu như sau: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp n liên tục trên một khoảng chứa xo và giả sử :

Khi đ� :

(i) Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị (điạ phương) tại x_o Hơn nữa nếu f⁽ⁿ⁾(x_o) >0 thì f(x) đạt cực tiểu tại xo nếu f⁽ⁿ⁾(x_o) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại x_o

(ii) Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại x_o

    Một vấn đề c� liên quan đến cực trị là tìm gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất của một hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x) trên đoạn [a,b] ta chỉ cần so s�nh c�c g�a trị của f tại 3 loại điểm :

(1) Các điểm dừng ( tức là f' tại đ� bằng 0)

(2) Các điểm kỳ dị ( tức là f' không tồn tại ở đ�)

(3) Hai đầu n�t a và b.

1) Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số và tìm cực trị địa phương:

Ta có:

y� = 0 tại tại x = 1 và y� không xác định tại x = 0

Þ Bảng xét dấu của ý như sau:

Vậy hàm số giảm trong khoảng(-¥ ,1) và tăng trong (1,+¥ ). Hàm số y đạt cực tiểu tại x=1. Với y(1) = -3.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số.

với

Ta có:

Nhận xét rằng trên khoảng thì và tăng nghiêm ngặt từ �2 lên 1 trong . Do tính liên tục của nên có duy nhất sao cho:

Khi đ� ta c� bảng x�t dấu của L�(q )như sau:

Suy ra gía trị nhỏ nhất của L(q ) trên khoảng là:

 

Hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a,b) được gọi là lồi trên (a,b) nếu với mọi x_{1 ,} x_{2 Î} (a,b) và mọi x₁ ,x_{2 Î} (a,b) và mọi a _Î [0,1] ta có:

Hàm số f(x) được gọi là lõm trên (a,b) nếu �f (x) là lồi trên (a,b).

Về mặt hình học, hàm số f(x) là lồi trên 1 khoảng nghĩa là mọi cung AB của đồ thị hàm số đều nằm dưới dây cung AB.

Lưu ý: Trong một số giáo trình khác, người ta có thể dùng thuật ngữ lồi và lõm theo nghĩa ngược với ở đ�y.

Điểm ph�n c�ch giữa khoảng lồi và khoảng lõm của hàm số y=f(x) được gọi là điểm uốn.

    Định l� dưới đ�y cho ta c�ch dùng đạo hàm để khảo s�t t�nh lồi, lõm và tìm điểm uốn.

(i) Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 f��(x) trong khoảng (a,b). Khi đ� hàm số f là lồi (tương ứng lõm) trên khoảng (a,b) nếu và chỉ nếu f��(x) ³ 0 (tương ứng, f��(x)£ 0) trên (a,b).

(ii) Nếu f��(x) đổi dấu khi x vượt qua xo thì điểm (xo,f(xo)) trên đồ thị của hàm số f(x) là một điểm uốn.

    Ví dụ: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn cho hàm số :

Miền xác định của hàm số là D = R \ {-1, +1}.

Tính đạo hàm :

Bảng xét dấu của y�� :

Vậy hàm số y lõm trên các khoảng (-¥ , -1) và (-1,0); lồi trên các khoảng (0,1) và (1,+¥ ). Từ đ�, đồ thị hàm số có 1 điểm uốn là M(0,0).

1) Tìm miền xác định của hàm số y =f(x) đồng thời nhận x�t về t�nh chẳn lẻ, t�nh tuần hoàn cuả hàm số để r�t gọn miền khảo s�t.

2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm các cực trị địa phương. Tính một số giới hạn quan trọng và lập bảng biến thiên của hàm số.

3) Khảo sát tính lồi lõm và điểm uốn.

4) Tìm các đường tiệm cận.

5) Vẽ đồ thị. Để vẽ được đồ thị ch�nh x�c ta cần x�c định c�c điểm cực trị , điểm uốn, giao điểm với c�c trục toạ độ và có thể xác định cả tiếp tuyến tại c�c điểm đ�.

    Chú ý: Cần lưu ý các trường hợp sau đ�y khi tìm tiện cận .

Thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng

Thì đường thẳng y = b là một tiệm cận ngang

Nếu y = f(x) có dạng f(x) = ax + b + j x

Với

Thì đường thẳng y = ax + b là một tiện cận

Trong trường hợp a ¹ 0, ta nói tiệm cận này là tiệm cận xiên .

Lưu ý rằng các hệ số a,b cuả tiệm cận y = ax + b khi xét x ® ¥ (+¥ hay - ¥ ) có thể được tính bởi:

    Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị h�m số

Miền xác định : D = R \ {-1,+1}. Hàm số y là hàm số lẻ.

Các đạo hàm:

Ta có y� cùng dấu với 1-x² và:

y�� cùng dấu với 2x và y�� triệt tiêu tại x = 0

Þ Bảng biến thiên:

Tiện cận ngang : y = 0

Tiện cận đứng : x = 1 ; x = -1

Þ Đồ thị của hàm số như sau :