Định nghĩa 1:

Cho hai hàm số f(x)và g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh x_o ( có thể loại trừ x_o). Ta nói f(x) tương đương với g(x) khi x -> x_o nếu:

Khi ấy , ta viết :

f(x) ~ g(x) khi x -> xo

Hoặc là : khi x -> x_{o ,} f(x) ~ g(x)

    Tính chất : Khi x -> x_o

(i)  f(x) ~ g(x)

(ii)  f(x) ~ g(x) Þ g(x) ~ f(x)

(iii) f(x) ~ g(x) và g(x) ~ h(x) Þ f(x) ~ h(x)

Ví dụ : Khi x -> 0, ta có :

sin x ~ x ln(1+x) ~ x

tg x ~ x ex -1 ~ x

arcsin x ~ x arctg x ~ x

    Định nghĩa 2:

Cho f (x) xác định quanh x_o (c� thể loại trừ x_o). Ta n�i f (x) là một đại lượng vô cùng bé khi x -> xo viết tắt là VCB , khi

Trong trường hợp ta có (hoặc + ¥ , hoặc - ¥ ) ta nói f (x) là vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x -> x_o

Ví dụ:

Khi x -> 0 , ta có x, ln(1+x), 1 � cos x là các VCB.

Khi x -> 0⁺, ta có ln(x), là các VCL

Khi x -> +¥ , ta có x, ln(x), ex là các VCL

Ghi ch� : Các khái niệm về hàm tương đương, VCB và VCL cũng được định nghĩa tương tự như hai định nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - > ¥ , hoặc x -> +¥ , hoặc x -> -¥ .

        Giả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến đổi của x.Khi đ�

1) Ta nói f (x) � g (x) có dạng vô định ¥ - ¥ nếu f (x) và g (x) cùng tiến về + ¥ (hoặc là -¥ ).

2) Ta nói f(x).g (x) có dạng vô định o .¥ nếu:

f (x) là VCB và g (x) là VCL , hoặc là:

f (x) là VCL và g (x) là VCB

3) Ta nói có dạng vô định nếu f(x) và g (x) đều là các VCB

4) Ta nói có dạng vô định nếu f(x) và g(x) đều là các VCL

5) Ta nói f(x) ^g(x) có dạng vô định 0⁰ khi f (x) và g (x) đều là các VCB.

6) Ta nói f(x) ^g(x) có dạng vô định ¥ ⁰ nếu f(x) -> + ¥ và g (x) là VCB.

7) Ta nói f (x) ^g(x) có dạng vô định 1¥ nếu f(x) -> 1 và g (x) là VCL .

    Định l� : Giả sử ta xét giới hạn trong một quá trình biến đổi của x. khi ấy :

    Ví dụ: Tính

Khi x -> 0, ta có : x . ln(1+x) ~ x . x = x²

=>

Vậy:

    Định nghĩa: Xét x -> a (a Î R , hoặc a là vô tận )

Giả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi đ�:

(i) Ta nói u và v có cùng cấp nếu

(ii) Ta nói u có cấp cao hơn v nếu

(iii) Ta nói u có cấp thấp hơn v nếu

Ví dụ : Khi xét x -> 0, ta có 1 � cos x và x² là 2 VCB cùng cấp , 1 � cos x là VCB cấp cao hơn ln(1+x)

    Định nghĩa: (So sánh VCL)

Giả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x -> a . Ta nói

(i) f (x) có cùng cấp với g (x) nếu

(ii) f(x) có cấp cao hơn g (x) nếu

(iii) f(x) có cấp thấp hơn g(x) nếu

Ví dụ: Khi x -> + ¥ , ta có x và cùng cấp , x^3/2 có cấp cao hơn

    Định l�: Giả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x -> a .Ta có:

(i) Nếu f(x) có cấp nhỏ hơn g(x) thì f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a

(ii) Nếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f₁(x), g(x) ~ g₁(x) thì :

f(x) - g(x) ~ f₁(x) - g₁(x)

với điều kiện f(x) và g(x) không tương đương.

    Định l�: Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x -> a. Ta có:

(i) Nếu f(x) có cấp lớn hơn g(x) thì:

f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a

(ii) Nếu f và g cùng cấp nhưng không tương đương, và: f(x) ~ f₁(x), g(x) ~ g₁(x) thì :

f(x) - g(x) ~ f₁(x) - g₁(x)

Ví dụ: Khi x - > + ¥ , ta có:

3x⁴ + x + 1 ~ 3x²